Kształcił się w Konserwatorium Galicyjskiego Towarzystwa Muzycznego we Lwowie oraz w Królewskiej Akademii Muzyki w Charlottenburgu. Studiował też na Uniwersytecie Berlińskim, w 1921 r. uzyskując doktorat z muzykologii. W latach 1916–1918 służył w armii austriackiej, a następnie w Wojsku Polskim. W 1918 r. został wykładowcą Konserwatorium Polskiego Towarzystwa Muzycznego we Lwowie, którego dyrekcję sprawował w latach 1929–1939. Prowadził zajęcia z kontrapunktu, harmonii, historii i estetyki muzyki, solfeżu, a także kompozycji. Z Kofflerem pracował na tej samej uczelni przez 15 lat (1924–1939), od 1929 r. będąc jego przełożonym. Został też prezesem, a następnie prezesem honorowym lwowskiego oddziału Towarzystwa Muzyki Współczesnej (1930–1933).
W tej samej sali, jeszcze podczas dyrekcji Mieczysława Sołtysa w 1928 roku, po raz pierwszy zabrzmiała Sielanka Kofflera. Adam Sołtys był we Lwowie znanym dyrygentem, od 1924 r. prowadził większość koncertów PTM. Kierował m.in. światowym prawykonaniem pełnej wersji III Symfonii „Pieśń o nocy” Karola Szymanowskiego w 1928 r. Jako kompozytor do 1939 r. stworzył m.in. I Symfonię d-moll op. 8 oraz 11 pieśni na głos i fortepian m.in. do słów poetów polskich z przełomu XIX i XX w.
Podczas okupacji sowieckiej, po zlikwidowaniu Konserwatorium PTM, Adam Sołtys został kierownikiem działu polskiego oraz dziekanem Wydziału Dyrygentury w powołanym w zamian Lwowskim Państwowym Konserwatorium (1940–1941). W 1940 r. razem z Kofflerem był członkiem delegacji LPK na zjazd Związku Kompozytorów Radzieckich w Kijowie. Po 1945 r. Adam Sołtys pozostał we Lwowie (deklarując narodowość polską), gdzie ponownie objął posadę wykładowcy w LPK.
